ОГЛАВЛЕНИЕ

ФОРМУЛЫ  ГРИНА.. 2

§ 7.1.  Линейные дифференциальные операторы.. 2

§ 7.2.  Формулы Грина. 3

ЛЕКЦИЯ  7

ФОРМУЛЫ  ГРИНА

Рассматриваются  формулы Грина, связывающие значения - кратного интеграла по области   и - кратного интеграла по кусочно-гладкой границе  этой области.

§ 7.1.  Линейные дифференциальные операторы

Пусть в евклидовом пространстве действует линейный дифференциальный оператор

.

Для упрощения записи в дальнейшем будем опускать знак суммы, считая, что суммирование осуществляется по дважды повторяющимся переменным индексам, принимающим значения от  до . В таком случае выражение  для  примет вид

.

Оператор  называется сопряженным к оператору , если для любых выполняется условие

,                                        (7.1)

где  – скалярное произведение. Найдём выражение для оператора , сопряженного к . Для  этого рассмотрим выражение

.                      (7.2)

Для  вычисления последнего интеграла применим формулу интегрирования по частям последовательно  раз и получим равенство

.                      (7.3)

Подставим (7.3) в (7.2) и сравним полученный результат с формулой (7.1). Это позволяет получить выражение для сопряженного дифференциального оператора

.

При  имеем

,                               (7.4)

.

§ 7.2.  Формулы Грина

Преобразуем дифференциальное выражение (7.4) следующим образом:

,

где , .В таком случае сопряженным к  будет дифференциальное выражение

.                                 

Рассмотрим выражения:

,

 .

Проинтегрируем    первое   из   них  по   некоторой   области  с кусочно-гладкой границей

.

Первый интеграл, стоящий в правой части, заменим с помощью формулы Остроградского – Гаусса на интеграл по поверхности :

,   (7.5)

где  –  внешняя  нормаль к поверхности . Полученное выражение называется  первой  формулой  Грина.

Найдём разность

Так как  при  (-

и, кроме того,

,

то получаем

.

Проинтегрируем это равенство по области  с  кусочно - гладкой границей  и затем интеграл в правой части полученного равенства заменим с помощью  формулы Остроградского – Гаусса на интеграл  по  поверхности  с  внешней  нормалью  .  В результате получим  вторую  формулу  Грина

.

Рассмотрим двумерный случай . При , , , , ,  имеем граница  области

,

и вторая формула Грина  в этом случае принимает вид